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分数の分子と分母n倍しても大丈夫

提供: kimoto's wiki

表題の確認をする記事

分子と分母をそれぞれ2倍しても値として同じことの確認

a/b から 2a/2b を引いてその差が0になることを確かめる


\frac{a}{b} - \frac{2a}{2b} = 0

分子と分母をそれぞれ3倍してもいっしょ?

a/b から 3a/3b を引いてその差が0になることを確かめる


\frac{a}{b} - \frac{3a}{3b} = 0

n倍ではどう?

a/b から na/nb を引いてその差が0になることを確かめる


\frac{a}{b} - \frac{na}{nb} = 0

大丈夫っぽい。

n倍しても大丈夫なことを帰納法で証明する

  • 仮定


T(n) = \frac{na}{nb} = \frac{a}{b}

  • T = 1の場合


T(1) = \frac{1a}{1b} = \frac{a}{b}

  • T = kの場合 ... (1)


T(k) = \frac{ka}{kb}

  • T = (k+1)の場合 ... (2)


T(k+1) = \frac{(k+1)a}{(k+1)b}

  • (1) に a/b を足して (2) になることを確認する


\begin{align}
T(k) + T(1) & = \frac{ka}{kb} + \frac{a}{b} \\
& = \frac{ka+ka}{kb+kb} \\
& = \frac{2ka}{2kb} \\
& = \frac{ka}{kb} \\
& = \frac{(k+1)a}{(k+1)b} \\
\end{align}