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ダイス目勝負

提供: kimoto's wiki

概要

  • 1からnまでの数字の集合から重複しないようにランダムにAとBの2つを選択し、A<Bとなる確率を調べる
  • なんか nCm とかあのへんの公式を使えばさくっと分かりそうなことだけど原理を理解するためにもあえて独自流でやってみることとする。

結論

  • A < B となる確率は 1 / 2

詳細

  • 具体的な例で考えてみる。

1-6 までの数字の集合から重複しないように2つ選択し、A<Bとなる確率を調べる

  • A < Bとなるのは以下の理由で 15通り
    • Aが1のときBが勝てるのは2,3,4,5,6 -- 5通り
    • Aが2のときBが勝てるのは3,4,5,6 -- 4通り
    • Aが3のときBが勝てるのは4,5,6 -- 3通り
    • Aが4のときBが勝てるのは5,6 -- 2通り
    • Aが5のときBが勝てるのは6 -- 1通り
    • Aが6のときBは勝てない -- 0通り
  • 全体の組み合わせの数は 6 x 6 = 36 通り。
  • この全体の組み合わせの数から重複しないという条件を満たすために重複したダイス目になる組み合わせの数を引く必要がある。
  • 重複する全パターンは以下の6通り
    • Aが1のときBが1
    • Aが2のときBが2
    • Aが3のときBが3
    • Aが4のときBが4
    • Aが5のときBが5
    • Aが6のときBが6
  • したがって重複しないダイス目は 36 - 6 で30通りあるということになる。
  • 上記からA < Bとなる割合は 15 / 30 であるとわかり、約分すると 1 / 2 になる
  • 1 / 2 の確率でBが勝つことがわかる
  • A > Bもまた同様に 1 / 2 で勝てる。

1-3 の範囲のダイス目の場合

  • この場合、A < Bとなるのは以下の 計3通り
    • Aが1のときBが2,3 -- 2通り
    • Aが2のときBが3 -- 1通り
    • Aが3のときはなし -- 0通り
  • 全体の組み合わせの数は計6通り
    • Aが1のときBが2, 3 -- 2通り
    • Aが2のときBが1, 3 -- 2通り
    • Aが3のときBが1, 2 -- 2通り
  • したがって 3 / 6 が A < Bとなる組み合わせの数
  • 約分すると 1 / 2

  • ダイス目が1-6の範囲から1-3に変わっても確率は同じ1 / 2であることがわかった。
  • ちゃんと検証してないけどおそらくこのダイス目が増えていっても同じく1 / 2の確率であると思われる(予想)
    • ほんとは帰納法で検証しないとダメそう

nが増えていっても1/2である確率に変わりはない?

  • 上記の現象から以下のような数式になるのではないかと仮定した。n面ダイスのサイコロを振ったときのAさんの勝つ確率を表す関数をP(n)とする。


P(n)=\frac{\sum_{i=1}^{n}n-i}{n^2-n}

  • 分母が全体の組み合わせ - 重複してる組み合わせ で、分子でAさんが勝つ組み合わせの数を表現してる
  • n=3とn=6のときで確認するとちゃんとした値が出てくるっぽい
  • まずΣをはずして..


P(n)=\frac{\frac{1}{2}n(n-1)}{n^2-n}

  • 分母を整頓します


P(n)=\frac{\frac{1}{2}n(n-1)}{n(n-1)}

  • ここで分母と分子をそれぞれ2倍して登場する分数を可能な限り減らしてみます
    • (ちなみにこれをしても分数としての値が変わらないというのを別途証明しないとダメっぽい。。)
      • 分子と分母を2倍しても同じ値であるという事の確認↓


\frac{a}{b}-\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}-\frac{a}{b}=0

  • ということで


P(n)=\frac{n(n-1)}{2n(n-1)}

  • 約分すると以下のように。


P(n)=\frac{1}{2}

  • n >= 2 のときに限る
    • なぜなら n = 1 のときはダイス目は常に1。AさんとBさんは常に引き分けになるためどちらが勝ったかという解はない
      • n = 1を代入すると分母が0になって解なしとなる。これは正しい挙動だと思う。けどなんとなく n >= 2 と定義域を限定するのが正しい気がするのでそうする。